夫婦円卓問題

今日も寒い。 ゴミ出しをして、目覚しの珈琲。 メイルで今日する仕事のいくつかを片付け、出勤。 学生食堂で早めの昼食。 午後は研究室で今日することを次々に片付けてから、 今期最後の卒研ゼミＩ。 ポワソン分布での近似の続き。 このゼミでは「確率論へようこそ」と言うかなり易しい教科書を使っていたのだが、 なかなか面白かった。 特に 0-1 値確率変数を使うテクニックが勉強になった。 16 時半から教授会。人事の案件が沢山あったので覚悟はしていたのだが、 案外あっさりと終わった。研究室で最後の雑用をして帰る。 帰宅は 20 時少し前。 夕食は王将の餃子二人前を焼いて、ルイボス茶で食べる。

「n 組の夫婦を中華料理の食事会に招待した。 2n 席ある円卓に全員がでたらめに、 ただし男女が交代交代に座るとすると、 自分の配偶者と隣り同士に座っている夫婦の数の期待値(平均)は？」 組合せを真面目に考えると大変なことになりそうだが、 0-1 値確率変数のアイデアを使うと簡単にできる。 ある人の右隣りがその人の配偶者なら 1, そうでなければ 0 の値をとる確率変数を考えよ。 この確率変数は確率 1/n で 1, それ以外のときは 0 だから、その期待値は 1/n 。 夫婦で隣り同士に座っているペアの数はこの確率変数 2n 個の和に他ならない。 これらは独立ではないが、 和の期待値がそれぞれの期待値の和に等しいことは常に成り立つから、 求める期待値は 1/n の 2n 倍で答は 2 組。